Nascida em Havana, Alicia Ernestina Martinez Hoyo foi a primeira dançarina caribenha de balé clássico a ter projeção internacional. O sobrenome Alonso veio do mestre e diretor Fernando Alonso, com quem foi casada e que a acompanhou e orientou na maior parte de sua carreira.
Alicia formou-se em Cuba e depois em Nova York, com Vilzak e na School of American Ballet (SAB). Iniciou sua carreira profissional em 1938, nos musicais da Broadway. Em 1939, ingressou no Ballet Caravan e, em 1940, no Ballet Theatre, onde se apresentou, com algumas interrupções, até 1960.
Entre 1941 e 1943, apresentou-se com o grupo Pro-Arte de Havana e, em 1948, fundou em sua cidade natal o Ballet Alicia Alonso (e sua escola associada, em 1950). A partir de 1955, o nome da companhia passou a ser Ballet de Cuba. Nesse período, participou de importantes estreias mundiais como Undertow, de A. Tudor (1945), Theme and Variations, de G. Balanchine (1947), e Fall River Legend, de A. de Mille, entre outras.
Entre 1955 e 1960, também foi bailarina convidada de várias companhias, entre elas o Ballet Russe de Monte Carlo.
Depois da ascensão de Fidel Castro ao poder, em 1959, foi nomeada diretora do Ballet Nacional de Cuba. Como coreógrafa e diretora foi polêmica e controvertida, porém como bailarina é unanimemente considerada como um marco no balé da América Latina.
Entre seus grandes papéis figuraram Giselle (que interpretou a partir de 1945), O Lago dos Cisnes (desde 1954), Carmen (desde 1967) e A Bela Adormecida (desde 1974). Sua característica mais marcante foi um caudal técnico quase inédito para a época que, aliado a uma forte personalidade cênica, resultou em uma grande aceitação do público de massa.
Recebeu a Médaille de la Ville de Paris e o Prix Pavlova, em 1966.