Organização fundada em Caracas, Venezuela, em 1976, sob a presidência de María Teresa Castillo e a direção-geral de Luis Molina López, o Celcit se propôs a missão de
romper o isolamento entre os países da América Latina, com o fim de permitir o livre crescimento de suas expressões e práticas teatrais, sem as travas derivadas da incomunicabilidade e da dependência e, por sua vez, restabelecer as relações teatrais entre a América Latina e a Espanha, a partir do fato de que compartilham uma língua e um passado comum.
Com essa orientação, desenvolveu um importante trabalho, com o ingresso de milhares de artistas do teatro latino-americano. O Comitê Executivo Internacional foi integrado também por Juan Carlos Gené, Orlando Rodríguez, Carlos Ianni, Elena Schaposnik e Héctor Manrique.
O Celcit reconhece como seu antecedente a Federação de Festivais de Teatro da América. Após sua constituição como instituição autônoma, sob o auspício do Ateneu de Caracas, começou a impulsionar projetos de caracteres diversos: a abertura de novos espaços teatrais, conferências, mostras itinerantes, encontros de escolas e centros de formação. Também instituiu o Prêmio Ollantay, de estímulo a figuras e instituições. O trabalho organizou-se em três áreas fundamentais: formação, a cargo de Juan Carlos Gené; pesquisa, de Orlando Rodríguez; e promoção, a cargo de Luis Molina.
Nos anos 1980, marcados pela consolidação e expansão, constituíram-se filiais em trinta países da América Latina e além de suas fronteiras. O Celcit participou do nascimento do Espaço Editorial da Comunidade Ibero-americana de Teatro, uma rede entre as publicações especializadas da área; centralizou a organização de fóruns e encontros nos principais festivais, com a participação das mais destacadas figuras da criação e do pensamento teatral latino-americanos e do mundo; propiciou circuitos entre distintos eventos, com circulação de espetáculos, e tomou parte do núcleo gestor de um projeto que daria lugar à Escola Internacional de Teatro da América Latina e Caribe (Eitalc).
Ainda que denominado latino-americano, o Celcit sempre se projetou como instituição ibero-americana, a tal ponto que, desde fins dos anos 1980, sua direção-geral se estabeleceu em Madri e, desde 1998, sobretudo em Almagro. A polêmica celebração dos cinco séculos do descobrimento da América e a polarização cada vez maior entre as realidades socioeconômicas e políticas que pretendia abarcar a organização, somadas à crise neoliberal, reduziram notavelmente sua projeção.
Desde fins dos anos 1990, o Celcit deixou de organizar os fóruns do Festival Ibero-americano de Teatro de Cádiz e outros eventos internacionais, e seu campo de ação ficou reduzido. Essa debilidade provocou o enfraquecimento de muitos centros nacionais ou sua franca inoperância. Mantiveram-se vivos alguns focos: um dedicado à difusão e à formação e superação, com a edição regular do boletim eletrônico semanal El Celcit en Acción , da revista trimestral Teatro/Celcit , fundada em 1991 e que desde 2000 só aparece em formato eletrônico, e da Coleção Dramática Latino-americana, com mais de uma centena de obras de acesso gratuito, tudo impulsionado pelo diretor Carlos Ianni a partir do Centro Argentino, em conjunto com a organização de cursos e oficinas. Outro foco de publicações, que leva a cabo o Centro Venezuelano, sob a liderança de Héctor Manrique e Gregorio Magdaleno, edita cadernos temáticos sobre historiografia e outros volumes. Também permanece dinâmica a gestão de circulação de espetáculos, que Elena Schaposnik realiza da Secretaria Internacional de Promoção e Difusão, na Espanha.
O Celcit celebrou seus trinta anos com uma jornada (mesa de criadores) e uma exposição no XX FIT, de Cádiz. O incêndio do Teatro La Veleta, em Almagro, e de seu centro de documentação, em 2005, geraram um importante movimento de solidariedade de muitos dramaturgos da América Latina, com a possibilidade do rejuvenescimento da instituição.