Dançarino argentino, filho de bailarinos de gêneros folclóricos, Julio Bocca iniciou-se na dança aos quatro anos com os pais e ingressou no Instituto de Arte do Teatro Colón em 1974, complementando sua formação com Gloria Kazda, José Parés, N. Jutyeva e depois com Maggie Black e Winet Burmann.
Em 1981, o coreógrafo Fleming Flindt deu a Julio Bocca a primeira oportunidade como solista, em dois balés montados no Teatro Colón.
Já entre 1982 e 1984, realizou os primeiros papéis com o Ballet da Fundação Teresa Carreño, em Caracas, e o Ballet do Teatro Municipal, do Rio de Janeiro.
Em 1985, ano em que ingressou no corpo de baile do Teatro Colón, ganhou a medalha de ouro do concurso de Moscou; a partir desse momento, e com a colaboração do produtor Lino Patalano, teve início uma ascensão contínua de sua carreira, que duraria quase duas décadas.
Em 1986, Mikhail Baryshnikov o convocou como bailarino principal do American Ballet Theatre. Pouco tempo depois, Bocca já atuava como bailarino convidado em grandes companhias como Royal Ballet, de Londres, Kirov, de São Petersburgo, Ballet Real, da Dinamarca, Balleto del Teatro alla Scala, de Milão, Ballet, de Stuttgart e English National Ballet.
Em 1990, fundou sua própria companhia, o Ballet Argentino, com a qual percorreu o mundo estrelando produções de balé clássico e obras de coreógrafos contemporâneos. Em 1999, participou do filme Tango, de Carlos Saura.
Seu espectro como intérprete é vasto: August Bournonville, Jerome Robbins, John Cranko, Kenneth MacMillan, Roland Petit, Twyla Tharp e Mark Morris são alguns dos coreógrafos que interpretou com sucesso. Teve como partenaires grandes estrelas do balé como Carla Fracci, Natalia Makarova e Alessandra Ferri, entre outras.
Em 2005, protagonizou, como bailarino convidado do New York City Ballet, Todo Buenos Aires, de Peter Martins; foi astro convidado do Ballet de Boris Eifman em Hamlet Ruso e se despediu em Nova York e Buenos Aires de um dos balés que mais caracterizaram sua carreira: Dom Quixote.