Uno de los más importantes púgiles latinoamericanos, Stevenson disputó su primera Olimpíada en Munich, en el año 1972. En las octavas de final enfrentó al gran favorito a la medalla de oro, el norteamericano Duane Bobick, que lo había derrotado un año antes en los Juegos Panamericanos de Cali, Colombia. El cubano venció la revancha sin mayores complicaciones, para luego conseguir la medalla de oro. El segundo oro olímpico lo consiguió en 1976, en los Juegos de Montréal. Tal vez Stevenson haya tenido su única dificultad en el combate final, cuando el rumano Mircea Simon intentó escapar de la inminente derrota moviéndose sin parar en el ring durante los dos primeros asaltos. Así conseguía rehuir los fuertes punches del campeón, pero el golpe decisivo que caracterizaba a Stevenson llegó por fin, y dejó a Simon fuera de combate.
Los atributos del púgil cubano no escaparon a los promotores del boxeo profesional. Llegaron a ofrecerle enormes sumas para que abandonase el amateurismo, lo que forzosamente implicaba salir de Cuba. En el final de los Juegos Olímpicos de Munich (1972), se sabe que le ofrecieron 3 millones de dólares por una pelea profesional, pero él, secamente y con mucho orgullo, respondió que “prefería los diez millones de aplausos del pueblo de su país”. Como recompensa a su dedicación al deporte y al fervor patriótico, el gobierno de Fidel Castro siempre le concedió un gran número de privilegios. Por desacuerdo sobre el número de asaltos y el lugar adecuado, nunca pudo ser organizada la tan deseada pelea entre Stevenson y el otro astro del boxeo mundial, el norteamericano Muhammad Ali.
En Moscú, en 1980, el cubano ganó su tercera medalla de oro olímpica, y se transformó en el segundo boxeador del mundo en conseguir esa hazaña, pero el primero en lograrlo en una única división. Stevenson podría haber conquistado su cuarta medalla de oro, pero el boicot de los países socialistas a los Juegos de Los Ángeles (1984) interrumpió su trayectoria. Además de los tres títulos olímpicos, consiguió un triple campeonato mundial en La Habana (1974), Belgrado (1978) y Reno (1986). Terminó la carrera con apenas diez derrotas en más de 170 peleas.